良い点
・分量は初学者向け
・ほぼ全ての定理が証明付きである
・関数解析の和書としては珍しく線型作用素の成す半群の理論が書かれてある(偏微分方程式論(※1)で重要)
・有限次元空間と無限次元空間の共通点や相違点が明確であり詳しい
・和書には珍しくボホナー積分の詳しい解説もある
・具体例において関数の変数を関数空間の要素を表すx, y以外の文字にしている
・問題は理論的にも重要な物が多い
・ハーン-バナッハの定理の証明がわかりやすく, しかもその有用性があらゆる場面で身に染みてわかる
・連立一次方程式の解の存在定理を一般化した美しい「ブレッドホルムの交代定理」の証明がわかりやすい
・論理の流れにおける行間や誤植が非常に少ない
良くない点
・ハーン-バナッハの定理の証明に先立つ順序集合の説明が論理的におかしい(既習者は容易に訂正できる程度だが)
・本書に限らないが, 内積の連続性を暗黙の了解で用いている(※2)
・一様有界性定理において添え字集合が無限集合であるという仮定は不要である
・本書に限らないが, ノルム空間における三角不等式
| ||x||−||y|| |≦||x−y|| (※3)
を既知としている. しかし本質的に同じ不等式が序盤に定理の証明において現れているのみである(定理1.1)
・入門者向けの想定なのか, 閉作用素だが有界作用素ではない重要な例であるソボレフ空間における微分作用素が出てこない. ソボレフ空間における微分作用素の代わりにC^1[a, b]における微分作用素を挙げているがソボレフ空間も関数解析や偏微分方程式論では重要である(※4).
・これもそうなのか, 具体例が１変数関数に偏りがちである. 319ページ目と368ページ目に１つずつ偏微分方程式がある.
関数解析の入門書としては,
藤田-黒田-伊藤「
関数解析
」
黒田「
関数解析
」
岡本-中村「
関数解析
」
谷島「
新版 ルベーグ積分と関数解析
」
邦訳「
函数解析の基礎 上
」
(同)「
函数解析の基礎 下
」
をおすすめしたいが, 文庫本であり分量が多くない本書で入門事項を学ぶのも悪くはないだろう. 本書で扱われていない自己共役作用素のスペクトル分解は, 上から４冊が参考になる. ボホナー積分については「
新訂版 数理解析学概論
」も参考になる. ノルム空間の距離空間としての完備化がバナッハ空間になることの証明は宮島の「
関数解析
」あるいは「
関数解析の基礎 ∞次元の微積分
」が参考になる.
なお指数p＝1の場合のp乗可積分数列空間(ℓ^1)は(ℓ)と(＊), p＝1の場合のp乗可積分関数空間L^1(a, b)はL(a, b)と略記されている.
半群理論におけるヒレ-吉田の定理が大好きな私としては, それが載っているだけで高く評価したくなる.「ヒレ-吉田の不等式」は美しい形で書いているのも非常にすばらしい.
(※3)
||x||≦||x−y||＋||y||, かつ
||y||≦||y−x||＋||x||＝||x−y||＋||x||
から従う.
(※2)
Hを内積空間, {x_n}⊂H, x_n→x∈H, {y_n}⊂H, y_n→y∈H, (・,・)をHの内積とする. 三角不等式とシュワルツの不等式と収束列の有界性より||y_n||≦Mとすると(或いは||y_n||→||y||を使うと)
|(x_n, y_n)−(x, y)|
＝|(x_n − x, y_n)＋(x, y_n − y)|
≦||x_n − x|| ||y_n||＋||x|| ||y_n − y||
≦M||x_n − x||＋||x|| ||y_n − y||
→0.
ゆえにlim_(n→∞)(x_n, y_n)＝(x, y).
(※1), (※4)
ブログを参照されたい.
(＊) p乗総和可能数列空間と言うかもしれないが, 特に広まった呼び方はないように思えるし, 数列の項の和は数え上げ測度による数列という関数のルベーグ積分ゆえ, このように書いた. 私はもっとこの観点が広まれば良いと思っている.
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ボホナー積分と線型作用素の成す半群が書かれた貴重な本
良い点・分量は初学者向け・ほぼ全ての定理が証明付きである・関数解析の和書としては珍しく線型作用素の成す半群の理論が書かれてある(偏微分方程式論(※1)で重要)・有限次元空間と無限次元空間の共通点や相違点が明確であり詳しい・和書には珍しくボホナー積分の詳しい解説もある・具体例において関数の変数を関数空間の要素を表すx, y以外の文字にしている・問題は理論的にも重要な物が多い・ハーン-バナッハの定理の証明がわかりやすく, しかもその有用性があらゆる場面で身に染みてわかる・連立一次方程式の解の存在定理を一般化した美しい「ブレッドホルムの交代定理」の証明がわかりやすい・論理の流れにおける行間や誤植が非常に少ない良くない点・ハーン-バナッハの定理の証明に先立つ順序集合の説明が論理的におかしい(既習者は容易に訂正できる程度だが)・本書に限らないが, 内積の連続性を暗黙の了解で用いている(※2)・一様有界性定理において添え字集合が無限集合であるという仮定は不要である・本書に限らないが, ノルム空間における三角不等式 | ||x||−||y|| |≦||x−y|| (※3)を既知としている. しかし本質的に同じ不等式が序盤に定理の証明において現れているのみである(定理1.1)・入門者向けの想定なのか, 閉作用素だが有界作用素ではない重要な例であるソボレフ空間における微分作用素が出てこない. ソボレフ空間における微分作用素の代わりにC^1[a, b]における微分作用素を挙げているがソボレフ空間も関数解析や偏微分方程式論では重要である(※4).・これもそうなのか, 具体例が１変数関数に偏りがちである. 319ページ目と368ページ目に１つずつ偏微分方程式がある.関数解析の入門書としては,藤田-黒田-伊藤「関数解析」黒田「関数解析」岡本-中村「関数解析」谷島「新版 ルベーグ積分と関数解析」邦訳「函数解析の基礎 上」(同)「函数解析の基礎 下」をおすすめしたいが, 文庫本であり分量が多くない本書で入門事項を学ぶのも悪くはないだろう. 本書で扱われていない自己共役作用素のスペクトル分解は, 上から４冊が参考になる. ボホナー積分については「新訂版 数理解析学概論」も参考になる. ノルム空間の距離空間としての完備化がバナッハ空間になることの証明は宮島の「関数解析」あるいは「関数解析の基礎 ∞次元の微積分」が参考になる.なお指数p＝1の場合のp乗可積分数列空間(ℓ^1)は(ℓ)と(＊), p＝1の場合のp乗可積分関数空間L^1(a, b)はL(a, b)と略記されている.半群理論におけるヒレ-吉田の定理が大好きな私としては, それが載っているだけで高く評価したくなる.「ヒレ-吉田の不等式」は美しい形で書いているのも非常にすばらしい.(※3)||x||≦||x−y||＋||y||, かつ||y||≦||y−x||＋||x||＝||x−y||＋||x||から従う.(※2)Hを内積空間, {x_n}⊂H, x_n→x∈H, {y_n}⊂H, y_n→y∈H, (・,・)をHの内積とする. 三角不等式とシュワルツの不等式と収束列の有界性より||y_n||≦Mとすると(或いは||y_n||→||y||を使うと)|(x_n, y_n)−(x, y)|＝|(x_n − x, y_n)＋(x, y_n − y)|≦||x_n − x|| ||y_n||＋||x|| ||y_n − y||≦M||x_n − x||＋||x|| ||y_n − y||→0.ゆえにlim_(n→∞)(x_n, y_n)＝(x, y).(※1), (※4)ブログを参照されたい.(＊) p乗総和可能数列空間と言うかもしれないが, 特に広まった呼び方はないように思えるし, 数列の項の和は数え上げ測度による数列という関数のルベーグ積分ゆえ, このように書いた. 私はもっとこの観点が広まれば良いと思っている.
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2019年1月17日に日本でレビュー済み
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良い点
・分量は初学者向け
・ほぼ全ての定理が証明付きである
・関数解析の和書としては珍しく線型作用素の成す半群の理論が書かれてある(偏微分方程式論(※1)で重要)
・有限次元空間と無限次元空間の共通点や相違点が明確であり詳しい
・和書には珍しくボホナー積分の詳しい解説もある
・具体例において関数の変数を関数空間の要素を表すx, y以外の文字にしている
・問題は理論的にも重要な物が多い
・ハーン-バナッハの定理の証明がわかりやすく, しかもその有用性があらゆる場面で身に染みてわかる
・連立一次方程式の解の存在定理を一般化した美しい「ブレッドホルムの交代定理」の証明がわかりやすい
・論理の流れにおける行間や誤植が非常に少ない
良くない点
・ハーン-バナッハの定理の証明に先立つ順序集合の説明が論理的におかしい(既習者は容易に訂正できる程度だが)
・本書に限らないが, 内積の連続性を暗黙の了解で用いている(※2)
・一様有界性定理において添え字集合が無限集合であるという仮定は不要である
・本書に限らないが, ノルム空間における三角不等式
| ||x||−||y|| |≦||x−y|| (※3)
を既知としている. しかし本質的に同じ不等式が序盤に定理の証明において現れているのみである(定理1.1)
・入門者向けの想定なのか, 閉作用素だが有界作用素ではない重要な例であるソボレフ空間における微分作用素が出てこない. ソボレフ空間における微分作用素の代わりにC^1[a, b]における微分作用素を挙げているがソボレフ空間も関数解析や偏微分方程式論では重要である(※4).
・これもそうなのか, 具体例が１変数関数に偏りがちである. 319ページ目と368ページ目に１つずつ偏微分方程式がある.
関数解析の入門書としては,
藤田-黒田-伊藤「[[ASIN:4000078100 関数解析]]」
黒田「[[ASIN:4320011066 関数解析]]」
岡本-中村「[[ASIN:400730534X 関数解析]]」
谷島「[[ASIN:4254116063 新版 ルベーグ積分と関数解析]]」
邦訳「[[ASIN:4000051660 函数解析の基礎 上]]」
(同)「[[ASIN:4000051679 函数解析の基礎 下]]」
をおすすめしたいが, 文庫本であり分量が多くない本書で入門事項を学ぶのも悪くはないだろう. 本書で扱われていない自己共役作用素のスペクトル分解は, 上から４冊が参考になる. ボホナー積分については「[[ASIN:476870462X 新訂版 数理解析学概論]]」も参考になる. ノルム空間の距離空間としての完備化がバナッハ空間になることの証明は宮島の「[[ASIN:B005LFO2CG 関数解析]]」あるいは「[[ASIN:4753600998 関数解析の基礎 ∞次元の微積分]]」が参考になる.
なお指数p＝1の場合のp乗可積分数列空間(ℓ^1)は(ℓ)と(＊), p＝1の場合のp乗可積分関数空間L^1(a, b)はL(a, b)と略記されている.
半群理論におけるヒレ-吉田の定理が大好きな私としては, それが載っているだけで高く評価したくなる.「ヒレ-吉田の不等式」は美しい形で書いているのも非常にすばらしい.
(※3)
||x||≦||x−y||＋||y||, かつ
||y||≦||y−x||＋||x||＝||x−y||＋||x||
から従う.
(※2)
Hを内積空間, {x_n}⊂H, x_n→x∈H, {y_n}⊂H, y_n→y∈H, (・,・)をHの内積とする. 三角不等式とシュワルツの不等式と収束列の有界性より||y_n||≦Mとすると(或いは||y_n||→||y||を使うと)
|(x_n, y_n)−(x, y)|
＝|(x_n − x, y_n)＋(x, y_n − y)|
≦||x_n − x|| ||y_n||＋||x|| ||y_n − y||
≦M||x_n − x||＋||x|| ||y_n − y||
→0.
ゆえにlim_(n→∞)(x_n, y_n)＝(x, y).
(※1), (※4)
ブログを参照されたい.
(＊) p乗総和可能数列空間と言うかもしれないが, 特に広まった呼び方はないように思えるし, 数列の項の和は数え上げ測度による数列という関数のルベーグ積分ゆえ, このように書いた. 私はもっとこの観点が広まれば良いと思っている.
・分量は初学者向け
・ほぼ全ての定理が証明付きである
・関数解析の和書としては珍しく線型作用素の成す半群の理論が書かれてある(偏微分方程式論(※1)で重要)
・有限次元空間と無限次元空間の共通点や相違点が明確であり詳しい
・和書には珍しくボホナー積分の詳しい解説もある
・具体例において関数の変数を関数空間の要素を表すx, y以外の文字にしている
・問題は理論的にも重要な物が多い
・ハーン-バナッハの定理の証明がわかりやすく, しかもその有用性があらゆる場面で身に染みてわかる
・連立一次方程式の解の存在定理を一般化した美しい「ブレッドホルムの交代定理」の証明がわかりやすい
・論理の流れにおける行間や誤植が非常に少ない
良くない点
・ハーン-バナッハの定理の証明に先立つ順序集合の説明が論理的におかしい(既習者は容易に訂正できる程度だが)
・本書に限らないが, 内積の連続性を暗黙の了解で用いている(※2)
・一様有界性定理において添え字集合が無限集合であるという仮定は不要である
・本書に限らないが, ノルム空間における三角不等式
| ||x||−||y|| |≦||x−y|| (※3)
を既知としている. しかし本質的に同じ不等式が序盤に定理の証明において現れているのみである(定理1.1)
・入門者向けの想定なのか, 閉作用素だが有界作用素ではない重要な例であるソボレフ空間における微分作用素が出てこない. ソボレフ空間における微分作用素の代わりにC^1[a, b]における微分作用素を挙げているがソボレフ空間も関数解析や偏微分方程式論では重要である(※4).
・これもそうなのか, 具体例が１変数関数に偏りがちである. 319ページ目と368ページ目に１つずつ偏微分方程式がある.
関数解析の入門書としては,
藤田-黒田-伊藤「[[ASIN:4000078100 関数解析]]」
黒田「[[ASIN:4320011066 関数解析]]」
岡本-中村「[[ASIN:400730534X 関数解析]]」
谷島「[[ASIN:4254116063 新版 ルベーグ積分と関数解析]]」
邦訳「[[ASIN:4000051660 函数解析の基礎 上]]」
(同)「[[ASIN:4000051679 函数解析の基礎 下]]」
をおすすめしたいが, 文庫本であり分量が多くない本書で入門事項を学ぶのも悪くはないだろう. 本書で扱われていない自己共役作用素のスペクトル分解は, 上から４冊が参考になる. ボホナー積分については「[[ASIN:476870462X 新訂版 数理解析学概論]]」も参考になる. ノルム空間の距離空間としての完備化がバナッハ空間になることの証明は宮島の「[[ASIN:B005LFO2CG 関数解析]]」あるいは「[[ASIN:4753600998 関数解析の基礎 ∞次元の微積分]]」が参考になる.
なお指数p＝1の場合のp乗可積分数列空間(ℓ^1)は(ℓ)と(＊), p＝1の場合のp乗可積分関数空間L^1(a, b)はL(a, b)と略記されている.
半群理論におけるヒレ-吉田の定理が大好きな私としては, それが載っているだけで高く評価したくなる.「ヒレ-吉田の不等式」は美しい形で書いているのも非常にすばらしい.
(※3)
||x||≦||x−y||＋||y||, かつ
||y||≦||y−x||＋||x||＝||x−y||＋||x||
から従う.
(※2)
Hを内積空間, {x_n}⊂H, x_n→x∈H, {y_n}⊂H, y_n→y∈H, (・,・)をHの内積とする. 三角不等式とシュワルツの不等式と収束列の有界性より||y_n||≦Mとすると(或いは||y_n||→||y||を使うと)
|(x_n, y_n)−(x, y)|
＝|(x_n − x, y_n)＋(x, y_n − y)|
≦||x_n − x|| ||y_n||＋||x|| ||y_n − y||
≦M||x_n − x||＋||x|| ||y_n − y||
→0.
ゆえにlim_(n→∞)(x_n, y_n)＝(x, y).
(※1), (※4)
ブログを参照されたい.
(＊) p乗総和可能数列空間と言うかもしれないが, 特に広まった呼び方はないように思えるし, 数列の項の和は数え上げ測度による数列という関数のルベーグ積分ゆえ, このように書いた. 私はもっとこの観点が広まれば良いと思っている.
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