本書は「曲面の可積分幾何」を解説する和書で最初の入門書である。前半部の曲面論の基礎の説明では複素座標を活用し、「平均曲率一定曲面」（以下「CMC曲面」と記す）への応用を意識した記述になっているのが本書の大きな特徴だろう。第4章以降の後半部では、CMC回転面に関するドロネーと剱持の結果、CMC曲面のビアンキ-ベックルンド変換、CMCトーラスに関するウェンテの結果などが紹介され、第8章でCMC曲面の具体的な構成・表示を与えるドルフマイスター-ペディット-ウーによる素晴らしい公式（「DPW公式」）が詳述されている。以下に本書の内容を少し詳しく述べてみたい。
2次元ユークリッド空間の領域Dから3次元ユークリッド空間への階数2の写像 P: D→R3を曲面と考え、(u,v)をその局所径数とする。u曲線とv曲線の接ベクトルPu、Pv、及びそれらの外積を正規化した単位法線nの3つ組F=(Pu,Pv,n)は標構（フレーム）と呼ばれ、曲面論で重要な役割を果たす。ガウスとワインガルテンの公式は2つの3次行列 U、Vを用いて Fu=FU、Fv=FVで表現され、Fuv = Fvuから Vu–Uv+【U,V】= O （３次のゼロ行列）という「ガウス-コダッチ方程式」が導かれ、領域Dが単連結な場合にはこの方程式はFが存在する為の十分条件でもあること（「フロベニウスの定理」）は良く知られている。曲面には局所等温座標系（通常の記法で、E=G=expω、g12=0となる座標系）が存在し、第一基本形式Iは複素座標z（=u+iv）を用いてI=(expω)dzdz- （z-はzの複素共役）と表示される。写像Pが2つの独立変数zとz-からなると見做すと、ガウス-ワインガルテンの公式は複素フレーム(Pz,Pz-,n)を用いて書き換えられる。これを表示する式(2.30)は、本書で最も重要な公式の一つであるので、読者は確実に検証する必要がある。これからガウス-コダッチ方程式は、3つの未知関数ω、H（平均曲率）、Q（ホップ微分の係数関数）に関する2本の偏微分方程式に書き換えられ、特にCMC曲面では（臍点でない点の周りで、Q = -H/2の条件の下で）sinh-Gordon方程式で表現される事になる。
第3章では「曲面Pの座標情報と標構情報がSU(2) のリー環であるsu(2)（純虚四元数の全体）にencodeされる」という素晴らしいアイディアを理解する事が非常に重要だと思う。SU(2)とsu(2)がR3の曲面論に現れ、SU(2)のsu(2)への随伴表現Ad（Ad(a)ξ = aξa-1）がR3に回転として作用する事（Ad(SU(2)) = SO(3))、及びホップ射影π: SU(2)→S2がπ(a) = Ad(a)i（i∈su(2)）として定義できる事が説明されている。本書で示されている様に、SU(2)はS3と同一視でき、iの固定部分群がU(1)である事から、ホップ射影は主束S3→S2であり、そのファイバーと構造群がU(1)=S1である事が分かる。これらから、ガウス-ワインガルテンの公式とガウス-コダッチ方程式が2次行列として表示でき、その延長上にCMC曲面の同伴族の「ラックス表示」とその位置ベクトルを求める「シム-ボベンコ公式」が現れることも自然に理解できると思う。
第4章のCMC回転面に関するドロネーの結果は、剱持先生の本や梅原・山田先生の本に載っており、良く知られていると思う。ガウス曲率が正で一定な曲面にはCMCとなる平行曲面が存在するが、この章ではアンデュロイドやノドイドがその平行曲面となるガウス曲率一定の回転面が考察されており興味深い。第5章では証明までは述べられていないが、「平均曲率がゼロでないCMC曲面のビアンキ-ベックルンド変換はダルブー変換に一致する」という素晴らしい結果が紹介されている。第6章は基本事項の補足説明であり、多様体とリーマン面の基本を知っている方はこの章をスキップしても構わないと思う。第7章では（小さい主曲率に対応する曲率線が全て平面曲線であるという条件を課した）CMCトーラスを求めるアブレッシュの方法が説明されている。剱持先生の本でご存知の方も多いであろうが、アブレッシュが非常に巧妙な式変形を行っている事に驚かされる。
第8章では本書の目標であるCMC曲面の構成法を与えるDPW法が詳しく解説されている。ここでは前半部で解説されたことが全て活用されていると言っても過言ではない。su(2)値1次微分形式αが「ゼロ曲率条件」を含む「容認接続条件」を満たせば、(Ψ-1)dΨ=αを満たす解Ψ：D→SU(2)が存在し、その解Ψからホップ射影Ad(Ψ)iで（複素平面の単連結領域DからS2への）調和写像が求められるという結果が重要な役割を果たしている。「DPW公式」は、S1の元λを径数に持つsl(2,C)値の1次微分形式ηに対し、dC=Cηの解C=C(λ)の岩澤分解からそのSU(2)因子であるΨ(λ)を抽出し、Ψ(λ)から「シム-ボベンコ公式」を用いてCMC曲面の1径数族の位置ベクトル表示が得られる事を主張していることが分かる。「曲面がCMCである事とガウス写像が調和である事とは同値である」という「ルー-ヴィルムスの定理」が、ここで重要な役割を果たしている事を明確に読み取れると思う。
本書を通読して、クリストッフェルやビアンキなど微分幾何学を勉強すれば必ずその名を知る研究者の業績に加え、ボンネとホップという二人の偉大な幾何学者の業績の素晴らしさを再認識させられた。楕円関数やパンルヴェ超越関数などの面白い特殊関数が現れるのも、「曲面の可積分幾何学」の魅力の一端だと思う。とても良く考えられた構成で、こんなに面白く素敵な書を数学愛好家にお薦めできることを非常に嬉しく思う。
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